¿Cuáles son los problemas del Premio del Milenio?

Jennifer Alonso García · 14-01-2021 10:00 · CEBE responde

No te sorprenderá si te digo que a los matemáticos les encantan los problemas. Nuestras vidas giran en torno a encontrar y tratar de resolver problemas. A menudo, observamos fenómenos naturales y nos preguntamos si las matemáticas podrían ayudarnos a modelar formalmente su dinámica para avanzar más en nuestra comprensión del mundo. A veces, descubrimos problemas y estudiamos teorías que pueden no tener una aplicación práctica directa. Afortunadamente (la mayoría de las veces), estas teorías, antes consideradas "inútiles", han dado lugar a avances en la ciencia y la tecnología. Por ejemplo, la teoría de números se consideró "inútil" hasta que Ron Rivest, Adi Shamir y Leonard Adleman crearon el algoritmo RSA que desde 1977 permite la transmisión segura de datos.

Algunos de estos desafíos matemáticos son los que el Clay Mathematics Institute, con sede en New Hampshire (Estados Unidos), denomina los "Problemas del Milenio". Este instituto seleccionó siete preguntas clásicas importantes que permanecían irresueltas en 2000. Estos problemas eran la “conjetura de Poincaré”, el “P vs NP”, la “conjetura de Hodge”, la “hipótesis de Riemann”, la “existencia de Yang-Mills y el salto de masa”, la “ecuación Navier-Stokes” y la “conjetura de Birch y Swinnerton-Dyer”. Hasta la fecha, solo se ha resuelto la “conjetura de Poincaré”, en este caso por el matemático ruso Grigori Perelman, en 2003. Su resultado demostró que los espacios tridimensionales sin agujeros (una rosquilla es un ejemplo de un espacio con un agujero) pueden deformarse hasta formar una esfera tridimensional.

Entre los que quedan sin resolver, centrémonos en el fascinante problema de “P vs NP".

Muchos expertos consideran que este es el problema abierto más importante de la informática. ¿Por qué? Piensa en una cuadrícula de Sudoku, que es un ejemplo de un problema NP. Pero primero, expliquemos qué es un problema P: si te doy una solución potencial de una cuadrícula de Sudoku, entonces es fácil verificar la solución. El tiempo para comprobar la solución aumenta con la red, pero no se dispara. En el caso del problema NP, encontramos el problema inverso: encontrar una solución a una cuadrícula de Sudoku es difícil y cuanto más grande es la cuadrícula, más lento se vuelve encontrar una solución. Los problemas de NP son difíciles de resolver, pero fáciles de comprobar una vez que hemos encontrado la solución (ver gráfico). Por otro lado, puedo encontrar soluciones rápidamente para problemas P.

La mayoría de los informáticos piensan que P no es igual a NP, ya que nadie ha podido demostrar todavía que P = NP en problemas NP bien conocidos. La solución a este “Premio del Milenio” tendría grandes implicaciones en nuestra vida diaria. Por ejemplo, si P = NP es cierto, significaría que la criptografía, un problema del tipo NP que es la base matemática de todos nuestros sistemas de seguridad en internet, debería repensarse por completo. Piensa en cómo accedes a tu cuenta de correo electrónico. Es muy fácil acceder si conoces la contraseña, pero es extremadamente difícil encontrar la contraseña si aún no la conoces. Si P = NP, entonces será posible crear un algoritmo que encuentre la contraseña fácilmente. Pero no todo son malas noticias. Si P = NP, podríamos resolver muchos problemas importantes, por ejemplo, en logística. Piense en un problema típico de viajantes: dada una lista de ciudades y distancias, ¿cuál es la ruta más corta posible desde la ciudad de origen a cada ciudad, pasando exactamente una vez por cada una, y de vuelta a la ciudad de origen? Suena fácil, pero en realidad es un problema de optimización muy difícil. Si se demuestra que P no es igual a NP, tendría menos beneficios computacionales prácticos, pero aclararía de una vez por todas que simplemente no es posible desarrollar algoritmos rápidos para resolver todos los problemas. Eso cambiaría el enfoque de los investigadores, dirigiéndolo a la búsqueda de soluciones parciales en lugar de exactas. De cualquier manera, genial, ¿verdad?

En el caso de que tengas algo de tiempo libre y resuelvas uno de estos problemas (puedes encontrar más información sobre los otros aquí), ayudarás a que la humanidad avance e ingresarás en tu cuenta de ahorro un premio de 1 millón de dólares norteamericanos.

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